阿罗定理
少数服从多数不一定是民主
从阿罗定理看民主投票不能得出唯一的结果
北京1992年开始申请主办2000年奥运会。申办奥运会的投票规则是逐步淘汰制，具有投票权的委员在参加申请的城市里进行投票，得票最少的城市便被淘汰。前两轮投票中北京一直领先，经过两轮投票，最后剩下三个城市：德国的柏林、澳大利亚的悉尼以及中国的北京。在第三轮投票中，北京获得最多的票，悉尼第二，柏林第三。
这一轮投票结束后，柏林被淘汰掉。如果只有这一次投票，北京就获胜了，但问题是还得再投一次票。当在北京与悉尼之间角逐时，北京肯定会再次获得胜利吗？
事实是，北京输了，悉尼获得了2000年奥运会的主办权。为什么会这样？原来支持柏林的投票人在柏林落选后大多数转而支持悉尼。
由此看来，民主投票不能得出唯一的结果，其选举结果取决于民主投票的程序安排以及每次确定的候选人的多少，即投票规则。不同的投票规则将得出不同的选举结果，这就是说，民主投票有内在的缺陷。我们将用著名经济学家阿罗提出的“不可能性定理”来说明，民主制度存在着缺陷。
当然，这里我们所说的存在缺陷并非是说民主选举是虚伪的和带欺骗性的，而是说民主选举有其局限性，我们不能因此全然否定民主选举，甚至将其视为不进行民主选举的借口。正如有一篇讨论民主与丑闻的文章中所说的，民主选举不是绝对好的，但反民主绝对是坏的。在民主社会里，罪恶被最大限度地暴露出来，并受到谴责，因此抑制了更多的罪恶；而在反民主的社会里，罪恶被最大限度地掩盖起来，于是往往导致更大的罪恶。所以，即便我们知道民主投票不一定得出唯一的结果，也要将其付诸实施，因为不这么做将得不到任何的结果。
“形式的民主”距离“实质的民主”有多远
在看到所有的人为寻找“最优的公共选择原则”奔忙而无所获的时候，斯坦福大学教授肯尼斯·阿罗进行了苦心研究，在1951年出版的《社会选择与个人价值》一书中提出了一个理想选举实验。
阿罗理想选举实验的第一步是，投票者不能受到特定的外力压迫、挟制，并有着正常智力和理性。毫无疑问，对投票者的这些要求一点都不过分。
阿罗理想选举实验的第二步是，将选举视为一种规则，它能够将个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，同时满足“阿罗定理”的要求。所谓“阿罗定理”就是：
（1）所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。也就是说，每个投票者都是自由的，他们完全可以依据自己的意愿独立地投出自己的选票，而不致因此遭遇种种迫害。
（2）对任意一对备选方案A或B，如果对于任何投票人都是A优于B，根据选举规则就应该确定A方案被选中；而且只有所有投票人都有A与B方案等价时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。这其实就是说：全体选民的一致愿望必须得到尊重。
但是一旦出现A与B方案等价的情况，就意味着可能投票出现了问题。比如两个方案A、B受两个投票人C、D的选择。对C来说，A方案固然更好，但B方案也没什么重大损失；但是对D来说，却可能是A方案就是生存，B方案就是死亡，那么让C和D两个人各自一人一票当然就不是公正平等的。
（3）对任意一对备选方案A与B，如果在某次投票的结果中A优于B，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括A优于B。这也就是说：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度，相对于其他候选人来说没有排序的降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。
这是对选举公正性的一个基本保证。比如，当一位家庭主妇决定午餐应该买物美价廉的好猪肉还是质次价高的陈猪肉时，我们很清楚：她对好猪肉和陈猪肉的喜爱程度应该不可能发生什么变化——然而这一次她却买了陈猪肉。这一定说明在主妇对猪肉的这次“选举”中有什么不良因素的介入。当然，如果原因其实是市场上已经100%都是陈猪肉，那也就意味着“选举”已经不复存在，主妇已经被陈猪肉给“专制”了。那不在我们的讨论范围之内。
（4）如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。
比如，那个买猪肉的主妇要为自己家的午餐主食做出选择，有3位“候选人”分别是1元钱1斤的好面粉、1元钱1斤的霉面粉和1元钱1斤的生石灰。主妇的选择排序不说也罢，一清二楚。然而现在的情况却是：在生石灰出局之后，主妇居然选择了霉面粉。这一定意味着有这次“选举”之外的因素强力介入。比如主妇的单位领导是这家霉面粉厂家老板的姐夫之类。
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